La formule de Pick…

Cette semaine, au parc des expositions de Saint-Denis, dans le cadre de la Fête de la science, j’ai animé un atelier relatif à la formule de Pick avec mes collègues de l’IREM (Institut de recherche et de l’Enseignement en mathématiques) de La Réunion. Beaucoup de visiteurs, des enfants heureux et des parents rassurés. Le public allait de 7 à 77 ans. Une vingtaine d’affiches  jalonnaient le parcours des visiteurs sur notre stand. Le thème général était la cristallographie. Beaucoup d’adultes accompagnant leurs enfants et pour beaucoup « hermétiques » aux mathématiques ont eux aussi participé aux différents ateliers proposés comme le tangram, le jeu malgache katro, les polydrons pour construire des solides, le kirigami, le jeu d’échecs, les casse-têtes, … les planches à clous de la formule de Pick. Ils ont manipulé, testé et ont retrouvé pour la plupart le plaisir de chercher, de découvrir, le désir de comprendre ces « étranges » objets mathématiques et de se réconcilier un peu avec la mathématique. Un lien pour vous donner l’ambiance du stand :

Antenne Réunion stand IREM

La formule de Pick … kossassa ?

affiche_irem_pick

Georg Alexander Pick (1859 – 1942) était un mathématicien autrichien, qui a donné son nom à un théorème connu sous le nom de formule de Pick. En 1899, Georg Alexander Pick prouve son fameux théorème portant sur l’aire d’un polygone simple dont l’ensemble des sommets sont situés sur le réseau des points à coordonnées entières. Il a contribué aussi à l’analyse et on dit qu’il a appris la géométrie différentielle à Albert Einstein..

le port obligatoire d'une étoile jaune sur la poitrine gauche...

le port obligatoire d’une étoile jaune sur la poitrine gauche…

… à travers la fenêtre d'un wagon au moment de leur déportation...

… à travers la fenêtre d’un wagon au moment de leur déportation..

En 1942, il est déporté et meurt le 26 juillet 1942 dans le camp de concentration de Theresienstadt

 

 

 

 

un camp de transit pour les artistes, savants… avant leur disparition

un camp de transit pour les artistes, savants… avant leur disparition

une baraque du camp des femmes...

une baraque du camp des femmes…

des conditions dépassant l'entendement humain...

des conditions dépassant l’entendement humain…

des fosses humaines … des morceaux de cadavres

des fosses humaines … des morceaux de cadavres

Le théorème de Pick est beau !

Il sort de nulle part et ne va nulle part non plus et en plus suffisamment simple pour être compris par un grand nombre de nos élèves. D’habitude, pour calculer l’aire d’un polygone nous utilisons des formules de la forme « longueur fois largeur » ou « longueur de la base fois hauteur divisé par 2 ». Or, avec la formule de Pick, on peut calculer une aire seulement en comptant les points sur un quadrillage.

 

 

Calculer l'aire de ce polygone

Calculer l’aire de ce polygone

Soit un polygone simple (les sommets tombent « pic » sur le quadrillage) construit à partir de points. Appelons : A l’aire de ce polygone, i le nombre de points intérieurs au polygone ; c le nombre de points sur le contour du polygone on a alors :

image formule Pick

 Voilà, vous avez une formule pour calculer l’aire d’un polygone.

  • Prenez une feuille de papier quadrillé. Choisir une unité de référence. dessiner des polygones. Comptez le nombre de points à l’intérieur du polygone, ajouter la moitié des points se trouvant sur le contour du polygone et enlevez 1.
  • Calculer  les aires des figures proposées sur l’exemple ci-dessous et appliquer la formule de Pick calmement … avec vos enfants ou pourquoi pas ses amis.
pour vous … des figures simples à tester avec vos enfants, vos amis et pour son plaisir.

pour vous … des figures simples à tester avec vos enfants, vos amis et pour son plaisir.

  • Prenez une carte de notre île à une échelle donnée. Placez une grille de points sur la carte. Calculez alors l’aire de notre île. La précision de votre calcul dépend de l’échelle et de la grille de points que vous allez utiliser.
  • Si vous souhaitez obtenir la démonstration mathématique de cette fameuse formule de Pick, merci de me laisser un commentaire au bas de cet article et je me ferai un plaisir de vous l’envoyer.

Nou artrouv.

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Comment j’évalue une tâche complexe ?

Je vous propose ici un exemple de tâche complexe et les modalités de son évaluation que j’ai choisis. C’est un choix personnel qui n’a pas forcément valeur d’exemple mais un bon démarrage pour aborder sereinement la pratique des tâches complexes avec nos élèves. Prenez le temps d’analyser l’énoncé proposé et le résoudre. Derrière chaque problème donné par un professeur se cache une intention. Essayez de deviner cette intention… en vous posant des questions comme :

  • pourquoi cet énoncé ?
  • que me rappelle ce problème ?
  • y-a-t-il un rapport avec le chapitre vu en classe actuellement ?
  • que cherche-t-il à évaluer ?
  • le style du problème me donne envie de chercher, me motive ou me rebute
  • que dois-je améliorer par rapport aux dernières appréciations laissées par le professeur ?
  • quels sont les critères d’évaluation d’une tâche complexe
  • que représente le logo en haut à droite de l’énoncé ?

Enoncé : Le puits du berger…

« Tu peux sonder la profondeur d’un puits ; la profondeur de l’esprit est insondable » (Proverbe indien)

1. Un jeune berger se trouve au bord d’un puits de forme cylindrique dont le diamètre vaut 75 cm : il aligne son regard avec le bord intérieur du puits et le fond du puits.

puits 1 berger

Le fond du puits et le rebord sont horizontaux. Le puits est vertical.

Puits 2 berger

Le berger s’aperçoit que la hauteur d’eau dans le puits est 2,6 m. Le berger a besoin de 1 mètre cube d’eau pour abreuver ses moutons. En trouvera-t-il suffisamment dans ce puits ?

On rappelle que :

  • L’aire du disque se calcule par la formule :

         π X Rayon X Rayon

  • Le volume d’un cylindre se calcule par la formule :

         Aire de la Base X Hauteur

2. Sur le mur de la fameuse salle B04, vous trouverez la figure d’un puits dessinée par des élèves. Calculer la profondeur du puits correspondant. Toute trace de recherche même si elle est incomplète, toute prise d’initiative, même si elle n’aboutit pas, sera prise en compte dans la notation.

Socle CommunC1

Socle CommunC2

Socle CommunC3

Socle CommunC4

Socle Communcours

A noter, que cette tâche complexe est la première que je donne à mes élèves de troisième cette année et que le cours traité précédemment est sur les configurations de Thalès et non sur les Grandeurs et Mesures. C’est un moyen pour moi de vérifier leur « accoutumance » à la pratique des tâches complexes et que la confusion ne règne pas entre tâche complexe et narration de recherche. C’est aussi l’occasion pour moi d’introduire et donner du sens à mon « tampon-noteur » d’une tâche complexe et des cartes mentales, voir ci-dessus, que je les ai fournies relatives au socle commun.

Grille d’évaluation

Tâche complexe : Le puits du berger…

Grille le puits du berger

Cette grille d’évaluation vous indique quelques indicateurs de réussite pour chaque compétence que je souhaite tenir compte dans mon évaluation.

Un barème peut-être proposé pour chaque compétence évaluée.

Ici, 4 points sont donnés par item des deux domaines de la compétence 3 du socle commun (Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique)  ;   » Pratiquer une démarche scientifique, résoudre des problèmes «  et éventuellement 4 points pour vérifier la maîtrise du cours sur les Grandeurs et Mesures du domaine  » Savoir utiliser des connaissances et des compétences mathématiques ».

C’est un bon moyen de mobiliser toutes les connaissances acquises durant les années antérieures et en cours d’année et ainsi vérifier les compétences acquises ou non acquises en vue d’une remédiation personnalisée si nécessaire.

De plus, je n’ai pas voulu ici privilégier une compétence par rapport à une autre pour leur « obliger » par la suite à avoir une approche réfléchie et non impulsive devant un problème. En effet, les élèves ont tendance à utiliser la calculatrice sans noter les calculs effectués ou une tendance à vouloir mettre des résultats avec les nombres donnés dans l’énoncé sans chercher une certaine distance avec ces données.

La compétence C4 a ici toute son importance. En effet, souvent l’élève se jette sur plusieurs calculs à la queue leu-leu sans chercher à justifier telle piste ou calculs effectués.

Insister sur l’utilisation systématique des paragraphes est essentiel en début d’année surtout que les élèves sont encore très sensibles à la notation.

Cette première tâche complexe aura une note chiffrée, c’est un choix personnel. Mon intention est de leur montrer que je serai assez exigeant sur la qualité de leur production à chaque fois que la classe doit travailler une tâche complexe. Sinon, on risque de la part des élèves un manque de rigueur et de soin apporté à leur production écrite.

thalèsTCphoto1

… notation et appréciations de la tâche complexe…

Mon « tampon-noteur » indique à la fois si une compétence est acquise et éventuellement la note chiffrée attribuée. Le partage de chaque compétence en trois parties nous permet de personnaliser et d’indiquer à l’élève les efforts encore à fournir même si la compétence est validée.

Au début, l’utilisation de ce « tampon-noteur » peut sembler compliquée. Après deux ou trois corrections, nous gagnons un temps non négligeable.

Néanmoins, la réalisation en amont de la grille d’évaluation est essentielle pour l’efficacité et la pertinence du barème et ce sur quoi nous voulons évaluer. Je vous livre quelques exemples de productions d’élèves…

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… repérage par l’élève des mots-clés…

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… l’élève n’a pas repéré les 2 questions et essaie des pistes…

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… rédaction un peu trop « impulsive », bonne utilisation du théorème de Pythagore mais hors sujet…

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… un premier jet de rédaction qui mérite d’être encouragé…

Ce problème peut aussi faire l’objet d’une narration de recherche, en modifiant un peu la consigne, et l’évaluation serait alors orientée différemment. Je vous proposerai dans un prochain article les critères d’évaluations d’une narration de recherche.

J’espère que cet exemple vous donne envie de confronter nos élèves plus souvent à des problèmes du type tâche complexe et de narration de recherche dans nos pratiques et stratégies pédagogiques. J’espère aussi que les visiteurs élèves de ce blog ainsi qu’aux parents de nos élèves trouvent un intérêt, le pourquoi et l’esprit de ces pratiques pédagogiques. Nos évaluations prendront alors encore plus de sens…

Vos commentaires, vos expériences, les remarques des élèves ainsi que celles des parents sont essentielles pour améliorer, renforcer l’utilisation de ces outils. Merci beaucoup pour vos encouragements sur ce blog. N’hésitez pas à me solliciter et proposer des sujets d’articles que vous aimeriez voir sur ce blog.

Nou artrouv.