Cette semaine, au parc des expositions de Saint-Denis, dans le cadre de la Fête de la science, j’ai animé un atelier relatif à la formule de Pick avec mes collègues de l’IREM (Institut de recherche et de l’Enseignement en mathématiques) de La Réunion. Beaucoup de visiteurs, des enfants heureux et des parents rassurés. Le public allait de 7 à 77 ans. Une vingtaine d’affiches  jalonnaient le parcours des visiteurs sur notre stand. Le thème général était la cristallographie. Beaucoup d’adultes accompagnant leurs enfants et pour beaucoup « hermétiques » aux mathématiques ont eux aussi participé aux différents ateliers proposés comme le tangram, le jeu malgache katro, les polydrons pour construire des solides, le kirigami, le jeu d’échecs, les casse-têtes, … les planches à clous de la formule de Pick. Ils ont manipulé, testé et ont retrouvé pour la plupart le plaisir de chercher, de découvrir, le désir de comprendre ces « étranges » objets mathématiques et de se réconcilier un peu avec la mathématique. Un lien pour vous donner l’ambiance du stand :

Antenne Réunion stand IREM

La formule de Pick … kossassa ?

Georg Alexander Pick (1859 – 1942) était un mathématicien autrichien, qui a donné son nom à un théorème connu sous le nom de formule de Pick. En 1899, Georg Alexander Pick prouve son fameux théorème portant sur l’aire d’un polygone simple dont l’ensemble des sommets sont situés sur le réseau des points à coordonnées entières. Il a contribué aussi à l’analyse et on dit qu’il a appris la géométrie différentielle à Albert Einstein..

le port obligatoire d’une étoile jaune sur la poitrine gauche…

… à travers la fenêtre d’un wagon au moment de leur déportation..

En 1942, il est déporté et meurt le 26 juillet 1942 dans le camp de concentration de Theresienstadt

un camp de transit pour les artistes, savants… avant leur disparition

une baraque du camp des femmes…

des conditions dépassant l’entendement humain…

des fosses humaines … des morceaux de cadavres

Le théorème de Pick est beau !

Il sort de nulle part et ne va nulle part non plus et en plus suffisamment simple pour être compris par un grand nombre de nos élèves. D’habitude, pour calculer l’aire d’un polygone nous utilisons des formules de la forme « longueur fois largeur » ou « longueur de la base fois hauteur divisé par 2 ». Or, avec la formule de Pick, on peut calculer une aire seulement en comptant les points sur un quadrillage.

Calculer l’aire de ce polygone

Soit un polygone simple (les sommets tombent « pic » sur le quadrillage) construit à partir de points. Appelons : A l’aire de ce polygone, i le nombre de points intérieurs au polygone ; c le nombre de points sur le contour du polygone on a alors :

 Voilà, vous avez une formule pour calculer l’aire d’un polygone.

• Prenez une feuille de papier quadrillé. Choisir une unité de référence. dessiner des polygones. Comptez le nombre de points à l’intérieur du polygone, ajouter la moitié des points se trouvant sur le contour du polygone et enlevez 1.

• Calculer  les aires des figures proposées sur l’exemple ci-dessous et appliquer la formule de Pick calmement … avec vos enfants ou pourquoi pas ses amis.

pour vous … des figures simples à tester avec vos enfants, vos amis et pour son plaisir.

• Prenez une carte de notre île à une échelle donnée. Placez une grille de points sur la carte. Calculez alors l’aire de notre île. La précision de votre calcul dépend de l’échelle et de la grille de points que vous allez utiliser.

• Si vous souhaitez obtenir la démonstration mathématique de cette fameuse formule de Pick, merci de me laisser un commentaire au bas de cet article et je me ferai un plaisir de vous l’envoyer.

Nou artrouv.