GAUSS, ce gosse pas facile, téméraire mais ô combien prometteur !

courbe de gauss

courbe de Gauss…

On le surnomme le Prince des mathématiques.

La légende raconte qu’à l’âge de trois ans il corrigea une erreur dans la comptabilité de son père… et, l’histoire rapporte qu’un jour son instituteur, souhaitant occuper les élèves et avoir un temps de répit, demanda à la classe de calculer la somme des cent premiers entiers naturels. Quelques secondes plus tard, Carl Friedrich Gauss tendit son ardoise et donna le résultat exact, soit 5 050. Pouvez-vous m’expliquer sa méthode ?

Laissez vos remarques et vos solutions dans les commentaires au bas de cet article.

Peut-être, pour vous aider le problème présenté un peu différemment…

Enoncé :

fig1 +2+3+4

Pour ajouter  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 =

ce n’est pas bien compliqué.

Mais, pour calculer   1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + … + 86 + 87

la somme de tous les entiers naturels de 1 à 87 c’est toujours simple mais fastidieux. Aussi, il est légitime de chercher un procédé qui offre un « raccourci astucieux » pour effectuer ce calcul.

Procédé pour calculer 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

                              fig 2 1+2+3+4                                      fig3 1+2+3+4

Appliquer ce même procédé pour calculer rapidement :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + … + 114

24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 + 31 + 32

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +7 + … + 99 + 100

Décrire ce procédé pour quelqu’un qui n’a pas compris comment faire. j’attends vos commentaires et je vous répondrai. A vous de jouer maintenant.

Nou artrouv

Publicités

Comment j’évalue une tâche complexe ?

Je vous propose ici un exemple de tâche complexe et les modalités de son évaluation que j’ai choisis. C’est un choix personnel qui n’a pas forcément valeur d’exemple mais un bon démarrage pour aborder sereinement la pratique des tâches complexes avec nos élèves. Prenez le temps d’analyser l’énoncé proposé et le résoudre. Derrière chaque problème donné par un professeur se cache une intention. Essayez de deviner cette intention… en vous posant des questions comme :

  • pourquoi cet énoncé ?
  • que me rappelle ce problème ?
  • y-a-t-il un rapport avec le chapitre vu en classe actuellement ?
  • que cherche-t-il à évaluer ?
  • le style du problème me donne envie de chercher, me motive ou me rebute
  • que dois-je améliorer par rapport aux dernières appréciations laissées par le professeur ?
  • quels sont les critères d’évaluation d’une tâche complexe
  • que représente le logo en haut à droite de l’énoncé ?

Enoncé : Le puits du berger…

« Tu peux sonder la profondeur d’un puits ; la profondeur de l’esprit est insondable » (Proverbe indien)

1. Un jeune berger se trouve au bord d’un puits de forme cylindrique dont le diamètre vaut 75 cm : il aligne son regard avec le bord intérieur du puits et le fond du puits.

puits 1 berger

Le fond du puits et le rebord sont horizontaux. Le puits est vertical.

Puits 2 berger

Le berger s’aperçoit que la hauteur d’eau dans le puits est 2,6 m. Le berger a besoin de 1 mètre cube d’eau pour abreuver ses moutons. En trouvera-t-il suffisamment dans ce puits ?

On rappelle que :

  • L’aire du disque se calcule par la formule :

         π X Rayon X Rayon

  • Le volume d’un cylindre se calcule par la formule :

         Aire de la Base X Hauteur

2. Sur le mur de la fameuse salle B04, vous trouverez la figure d’un puits dessinée par des élèves. Calculer la profondeur du puits correspondant. Toute trace de recherche même si elle est incomplète, toute prise d’initiative, même si elle n’aboutit pas, sera prise en compte dans la notation.

Socle CommunC1

Socle CommunC2

Socle CommunC3

Socle CommunC4

Socle Communcours

A noter, que cette tâche complexe est la première que je donne à mes élèves de troisième cette année et que le cours traité précédemment est sur les configurations de Thalès et non sur les Grandeurs et Mesures. C’est un moyen pour moi de vérifier leur « accoutumance » à la pratique des tâches complexes et que la confusion ne règne pas entre tâche complexe et narration de recherche. C’est aussi l’occasion pour moi d’introduire et donner du sens à mon « tampon-noteur » d’une tâche complexe et des cartes mentales, voir ci-dessus, que je les ai fournies relatives au socle commun.

Grille d’évaluation

Tâche complexe : Le puits du berger…

Grille le puits du berger

Cette grille d’évaluation vous indique quelques indicateurs de réussite pour chaque compétence que je souhaite tenir compte dans mon évaluation.

Un barème peut-être proposé pour chaque compétence évaluée.

Ici, 4 points sont donnés par item des deux domaines de la compétence 3 du socle commun (Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique)  ;   » Pratiquer une démarche scientifique, résoudre des problèmes «  et éventuellement 4 points pour vérifier la maîtrise du cours sur les Grandeurs et Mesures du domaine  » Savoir utiliser des connaissances et des compétences mathématiques ».

C’est un bon moyen de mobiliser toutes les connaissances acquises durant les années antérieures et en cours d’année et ainsi vérifier les compétences acquises ou non acquises en vue d’une remédiation personnalisée si nécessaire.

De plus, je n’ai pas voulu ici privilégier une compétence par rapport à une autre pour leur « obliger » par la suite à avoir une approche réfléchie et non impulsive devant un problème. En effet, les élèves ont tendance à utiliser la calculatrice sans noter les calculs effectués ou une tendance à vouloir mettre des résultats avec les nombres donnés dans l’énoncé sans chercher une certaine distance avec ces données.

La compétence C4 a ici toute son importance. En effet, souvent l’élève se jette sur plusieurs calculs à la queue leu-leu sans chercher à justifier telle piste ou calculs effectués.

Insister sur l’utilisation systématique des paragraphes est essentiel en début d’année surtout que les élèves sont encore très sensibles à la notation.

Cette première tâche complexe aura une note chiffrée, c’est un choix personnel. Mon intention est de leur montrer que je serai assez exigeant sur la qualité de leur production à chaque fois que la classe doit travailler une tâche complexe. Sinon, on risque de la part des élèves un manque de rigueur et de soin apporté à leur production écrite.

thalèsTCphoto1

… notation et appréciations de la tâche complexe…

Mon « tampon-noteur » indique à la fois si une compétence est acquise et éventuellement la note chiffrée attribuée. Le partage de chaque compétence en trois parties nous permet de personnaliser et d’indiquer à l’élève les efforts encore à fournir même si la compétence est validée.

Au début, l’utilisation de ce « tampon-noteur » peut sembler compliquée. Après deux ou trois corrections, nous gagnons un temps non négligeable.

Néanmoins, la réalisation en amont de la grille d’évaluation est essentielle pour l’efficacité et la pertinence du barème et ce sur quoi nous voulons évaluer. Je vous livre quelques exemples de productions d’élèves…

thalèsTCphoto2

… repérage par l’élève des mots-clés…

thalèsTCphoto3

… l’élève n’a pas repéré les 2 questions et essaie des pistes…

thalèqsTCphoto4

… rédaction un peu trop « impulsive », bonne utilisation du théorème de Pythagore mais hors sujet…

thalèsTCphoto5

… un premier jet de rédaction qui mérite d’être encouragé…

Ce problème peut aussi faire l’objet d’une narration de recherche, en modifiant un peu la consigne, et l’évaluation serait alors orientée différemment. Je vous proposerai dans un prochain article les critères d’évaluations d’une narration de recherche.

J’espère que cet exemple vous donne envie de confronter nos élèves plus souvent à des problèmes du type tâche complexe et de narration de recherche dans nos pratiques et stratégies pédagogiques. J’espère aussi que les visiteurs élèves de ce blog ainsi qu’aux parents de nos élèves trouvent un intérêt, le pourquoi et l’esprit de ces pratiques pédagogiques. Nos évaluations prendront alors encore plus de sens…

Vos commentaires, vos expériences, les remarques des élèves ainsi que celles des parents sont essentielles pour améliorer, renforcer l’utilisation de ces outils. Merci beaucoup pour vos encouragements sur ce blog. N’hésitez pas à me solliciter et proposer des sujets d’articles que vous aimeriez voir sur ce blog.

Nou artrouv.

THALES, ce géant visionnaire au sommet des pyramides…

Pieds nus

…Nous marchions les pieds nus sur la terre sacrée…

L’habitation traditionnelle des indiens des plaines d’Amérique du Nord est le tipi. Un tipi est constitué de longues tiges appuyées les unes sur les autres, d’une enveloppe extérieure faite de peaux d’animaux et d’une porte toujours orientée vers l’Est.

tipi3

                                                       

       … Voulez-vous connaître la suite… Franchissez cette porte

Tipi 2

« Les hommes d’aujourd’hui recherchent les connaissances, pas la sagesse. Les connaissances concernent le passé, la sagesse l’avenir » (Proverbe indien)

Tipi 1

Drôle de solide ce tipi ?

Chaque perche en bois mesure 18 pieds et dépasse de 3 pieds du toit de la tente.

Le diamètre du cercle tracé au sol mesure 15 pieds.

Ô ami terrien, pouvez-vous donner le diamètre du cercle formé par le haut des perches !

Laissez vos remarques et vos solutions dans les commentaires au bas de cet article. Vos solutions seront publiées sur ce blog avec votre permission. Allez, et pensez que sur l’immense toile, des millions de terriens vous observent…

Ce problème aurait sûrement plu à Thalès de Milet. La légende raconte… Le 21 juillet 1798, à Embabèh, à quelques kilomètres des pieds des pyramides de Gizeh, Napoléon Bonaparte, devant son armée, juste avant une bataille, prononça une phrase célèbre qui restera à jamais gravé dans le sable d’Egypte…

« Allez, et pensez que du haut de ces monuments, quarante siècles vous observent »

 L’histoire ne dit pas si à cet instant précis, il eut une pensée pour notre grand et géant des pyramides, le mathématicien grec Thalès.

kéops

Thalès de Milet, était venu, lui aussi, se balader en Egypte, sur invitation du pharaon Amasis, où il aurait réussi l’exploit de calculer la hauteur de la Grande Pyramide de Khéops….

Thalès aurait dit tout simplement que  » le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui de la pyramide avec la sienne « . Le « premier » théorème mathématique de toute l’histoire de l’Humanité est née…

thalès et pyramide

  Merci de me laisser vos remarques et vos solutions dans les commentaires au bas de cet article.

Nou artrouv.

Le professeur principal

Depuis sa création en 1960, la fonction du professeur principal n’a cessé d’évoluer pour répondre aux exigences de la société, de l’institution, des parents d’élèves et du métier d’enseignant. Cette fonction demande des compétences multiples allant de la communication, de l’organisation… de coaching… jusqu’à l’évaluation. Le professeur principal a un rôle de médiateur, d’écoute, d’animateur, d’organisateur avec des partenaires (élèves, parents, professeurs, assistante sociale, infirmier, documentaliste, conseiller psychologue et d’orientation, principal…) dont les attentes et les motivations sont différentes. Plusieurs textes décrivent et précisent les différentes fonctions de ce personnage clé de l’équipe éducative. Voici une carte mentale non exhaustive de ce que l’on attend du professeur principal… Cliquez sur l’image pour l’agrandir.

professeur principal

Pour illustrer cet article, je vous propose une activité d’animation de la « vie de classe » avec nos élèves…

Jusqu’où un professeur peut-il accepter les échanges en classe ?

Beaucoup de professeurs se plaignent de bavardages, d’une certaine agitation, de « chahut » en classe… de plus en plus fréquente et en augmentation chaque année… qui empêchent un travail serein de certains élèves et parfois de toute une classe. De plus en plus, les élèves ne respectent plus les règles élémentaires pour un fonctionnement « normal » d’une classe. Un constat partagé et que nous entendons souvent dans la salle des professeurs.

Je vous livre ici un Q-Sort sur le bavardage des élèves en classe. Je me suis inspiré d’un document de Françoise Raffin publié dans Le monde de l’Education en avril 1985. Encore, une capsule trouvée dans ma vieille bertelle… Ce Q-Sort peut être réalisé avec les élèves sous l’autorité du professeur principal suite à la demande d’un ou de plusieurs professeurs d’une classe.

Q-sort : le bavardage en classe, c’est…

Apprendre nécessite de l’attention. Le bruit peut devenir insupportable pour certains élèves et être un obstacle dans leur désir d’apprendre et de s’épanouir. Relisez l’article sur les profils d’apprentissage.

Le but de ce questionnaire n’est pas de rechercher une bonne réponse mais de vous sensibiliser à une situation, vous faire prendre conscience des conséquences néfastes du bavardage en classe, mener une réflexion, identifier votre attitude face aux bavardages, trouver une solution collective à la gestion du groupe classe et ainsi vous rendre plus efficace dans vos études. Parmi les 20 phrases, je choisis :

  • Les 2 qui me correspondent le plus
  • Les 4 qui me correspondent peu
  • Les 8 pour lesquelles je n’ai pas d’opinion
  • Les 4 qui ne me correspondent pas trop
  • Les 2 qui ne me correspondent pas du tout

Et inscrivez dans chaque case du tableau ci-dessous le numéro de la phrase choisie.

  1. vous êtes parmi les chahuteurs
  2. vous êtes ennuyé car vous ne pouvez plus travailler sereinement
  3. vous intervenez auprès de vos camarades pour faire cesser les bavardages
  4. vous pensez que ce n’est pas un problème pour vous
  5. vous essayez de trouver une solution pour sortir de cette situation
  6. vous pensez qu’il ne faut pas laisser la situation se dégrader mais vous ne savez pas comment faire
  7. vous vous dites que vous êtes là parce qu’on vous y oblige
  8. vous pensez que dans une classe, c’est au professeur de faire régner la discipline
  9. vous demandez aux délégués d’intervenir auprès du professeur concerné pour faire cesser les bavardages
  10. vous en parlez à vos parents pour les informer
  11. vous en parlez à votre professeur principal pour lui demander conseil
  12. vous regrettez qu’il n’y ait pas de sanctions assez fortes pour dissuader les perturbateurs
  13. vous contactez quelques camarades et vous essayez d’agir ensemble pour faire évoluer la situation
  14. malgré le bruit, vous continuez à écouter sérieusement le professeur
  15. vous pensez qu’il faudrait que les autres cessent leurs bavardages
  16. vous ne faites rien et vous observez ce qui se passe
  17. les bavardages vous empêchent de travailler
  18. vous finissez par participer aux bavardages avec les autres
  19. vous pensez que bavarder en classe ne dérange personne
  20. vous travaillez plus à la maison pour rattraper le temps perdu en classe

tableau Qsort

Merci pour votre collaboration.

A vous de tester cet outil. Merci de me communiquer les résultats de votre expérience en classe. J’attends vos commentaires.

Nou artrouv.